電子郵件無法支援
計算機按鍵字型
為求更佳排版顯示
請點選  ▶【網頁版】

  計算機資源網

台灣卡西歐  計算機電子報

「指」上好算數，「對」換更科學
指數與對數的使用初探~

第003期

2019.11.13發行

在小學的四則運算之後，指數是學生新接觸到的數學運算。本期將配合國中七上數學，從乘法至乘方的課程內容，介紹 fx-82 SOLAR Ⅱ相關功能。 十年級開始的對數概念，除了在純數學本身與指數的緊密關係外，在自然領域應用中更是不可或缺的要角。我們將介紹對數的相對應計算機功能，並舉例題說明。

往後的電子報將會分別以國、高中之課程單元為主軸來呈現。指數在高中也是重點概念，因初次介紹，本期將會放在國中單元。本期最後也有活動預告，一年一度的臺灣科技教育展(EdTech Taiwan)將在12月初舉行。 CASIO也將參展，並開辦「計算機配合模擬軟體融入教學」講座，歡迎老師們共同參與。

CASIO fx-82 SOLAR Ⅱ 關於乘冪的操作方法與數學概念

科學型計算機與普通型計算機相較，除了能符合數學式先乘除後加減的運算方式，既名為科學型計算機， 當然能作進階函數的運算。以下配合國中指數的課程單元，將解說計算機相對應的操作及方法。

※先來談談指數，在108數學課綱條目[N-7-6]提到：

例如，求101的3次方，即101³時：
若使用普通型計算機，基本的方法是需要鍵入多次的「 數字」及「乘號」，如計算上式需要鍵入：

本圖為計算機模擬器顯示出的計算結果

乘方鍵的命名

如 x^y之數學表達式，稱為冪(exponentiation)。一般來說，它可讀作 「x的 y次方」或「x的 y次冪」，而 x為底數(base)、y為指數(exponent)。在數學或物理內涵上，「乘方可視為運算或動作；而冪則可當作數或結果」。 在操作與計算時，使用了此一功能，故台灣卡西歐電子報的編輯，在定義上建議^使用「乘方鍵」的名稱。

連乘概念，會延申至高中排列組合單元，如重複排列(permutation with repetition)，或許對學子們會更感到困難。在這基本的連乘概念中，如次方、次冪與乘冪等複雜的名詞定義，可能困擾著中學生。 若能從簡單的輸入操作與計算結果觀察，進而引導至艱深的數學觀念，是教學上所樂見的。

【例題一】
試求下列各式計算的數值：

(1) 9×2²+8×3³

(2) 4⁻²+2⁻⁴

[計算機按鍵順序]

(1) 9*2^2 + 8*3^3 =

(2) 4^2~ + 2^4~ =

上述之輸入步驟可以看出，其和一般的算式書寫邏輯相近。惟特別注意的是，當指數部份為「負數」時，算式中「−」表示數的性質(sign of a number)為負，在數學中，除了0之外的每個實數，都帶有正負的性質。使用計算機時，按一下符號轉換鍵(sign change key) ~，即可改變輸入數字的正負性質。

例如，求8×(−3)−(−5)×5

[計算機按鍵順序]→ 8*3~ - 5~*5

指定一數為負時，先輸入數字，再按下~。按鍵順序雖與數學式的書寫不盡一致，但卻與普通型計算機的操作方法相同。算式中的運算符號對應使用計算機的+ - * /；性質符號切換使用~，以上是七年級數與式單元在教學上值得留意的地方。

最後，來看看新課綱計算機融入教學，使用工具能帶來怎樣的改變教學。
在數學領域課程手冊(請參照國教院相關網頁)提到：
使用計算機讓學生經驗「當a > 1時，若n愈大，則aⁿ 愈大； 當 0 < a < 1時，若n愈大，則aⁿ 愈小」的性質 _註1

每天進步1%的威力

來看看近年社群或大眾訊息間流行的著名思考問題：若每天進步 1%，則一年後是會多少？即使用普通型計算機的話，也是個棘手問題。若只能使用乘號計算，你會需要在計算機按下： 1.01 * 1.01 * ...可能會曠日廢時毫無效率。

而使用科學型計算機，只需輸入按鍵
1.01 ^ 365 =

如上圖之計算結果，我們可看到這個數字接近37.8，即1.01³⁶⁵ ≈ 37.78 。在此方能展現科學型計算機的好處，計算乘冪，可直接使用乘方鍵^。

在此簡短地介紹了用計算機求冪( x^y：某數之次方)的方法，關於使用乘方鍵^，底數x及指數y皆要輸入，是二元變數輸入的函數功能鍵。 未來電子報仍會對它及科學記號的相關章節進一步探討，下一節，讓我們進入與10乘冪指數有關的高中單元。

註1 《數學領域課程手冊》定稿版 第400頁 [N-7-6]指數的意義 釋例 6.

從航海、天文到近代自然科學的要角，對數l之初次登場

航海家的環球冒險旅程，或許他會需要一本厚厚的對數表。

約四百年前的17世紀，處於大航海時代或地理大發現(Age of Discovery) 的中後期，數學家也有新的發現或發明。要在明確經緯度的大海上定位，是件困難的事情，此時的數學家雖已知如何處理球面三角的計算問題外，但為了精確度與效率的要求，需要更好的方法或工具。

在沒有GPS定位的環境下，水手們必須觀測日月星辰的變化以推測船所在汪洋中之位置。用天球(Celestil Sphere)的座標，反推出船隻對應到地球上之經緯度。但差之毫釐，失之千里，計算精確度與計算效率變得很重要。對數(logarithms)或對數表(tables of logarithms)的發明讓其變得簡單多，也為後來諸多科學應用開啟了第一道門。

在繼續講述對數的發展與應用前，先暫且回到高中數學之討論。

※108數學課綱條目[N-10-4]

上圖為 fx-82 SOLAR Ⅱ之10^x鍵和 log 鍵所在位置。

使用log鍵背後之一元運算函數概念

因為 fx-82 SOLAR Ⅱ屬於基本型或初階型的科學型計算機，其鍵入及執行方式為單步(single-step)式或稱立即執行(immediate-execution)式的作業模式(mode of operation)。 普通型計算機的操作也與此模式相似，差別在於科學型計算機有先乘除後加減的機能，且同時也具備處理其它數學函數之功能。而值得注意的是，在使用 x²或 sin x 等一元運算(unary operation)的函數功能鍵時，自變數的數值須先輸入，接著才是函數符號的對應按鍵。

例如，求log2之近似值，請按 2l即可，如此之按鍵順序，剛好呼應「2的(常用)對數」念法。
再者，若求10⁸時，因為10^x 鍵為T上方黃字標記的第二功能，啟動該功能前請先按一下z。
故求10⁸，請按 8zT。

一元運算的範例

前一段所說之計算機操作模式，雖然和數學符號中函數與自變數由左而右的書寫不盡一致，但對於數學概念的學習，也能有意外的幫助或優點。其原因在於立即執行式的計算機，可以對螢幕上的數做運算。更確切地說，是對前面計算所得而存放於暫存器中的數值，再進行計算。

【例題一】
在求(((1.01)²)²)²時，可以如下操作：

如上圖的操作流程展示，可以看出：
一是疊代的過程，數值可一再代入計算機操作之；
二是位數的變化情形，小數點後位數的增長：2位→4位→8位→16位(螢幕最多顯示十位數字)的變化；
三是可連結二項式展開的單元，小數中的數值與組合數的連結。

在CASIO更高階的科學型計算機，也有如上所述之疊代互動操作方法，但需多設定幾個步驟。而 fx-82 SOLAR Ⅱ的操作簡單，對學生相對容易上手。

接下來，我們取材了教科書的一些想法，設計了簡單的log例題：

【例題二】
蕃茄汁的味道嘗起來是酸的，而食物會帶有酸性，其實是因為水份中氫離子濃度較純水高出許多的緣故。科學家發現25°C時，純水的氫離子濃度是1×10⁻⁷mol/L。
定義pH為−log[H⁺]，[H⁺]表示氫離子濃度，故純水的pH為7。

已知用儀器測得某杯蕃茄汁的pH為4.7，試回答下列問題：

(1) 求這杯蕃茄汁的氫離子濃度為何？

(2) 請在計算機中鍵入−4.7，請按zT，接著按l，再按zT...如此循環操作，可以發現什麼？

解

(1) 照科學上的定義氫離子濃度為10^{− pH}
在計算機輸入4.7 ~ ，接著鍵入zT，可以得到約1.995×10^-5的數值。

(2) 使用計算機，可看到一個操作的流程：

如上圖，左邊螢幕框中代表純10的乘冪指數；右方的則是科學記號表示數。
雖者，在108新課綱10年級，不得談及對數律。但由指數律知：10^−4.7=10^0.3×10⁻⁵。由−4.7 = −5 + 0.3，將0.3輸入計算機中，再取zT。此過程或許可先引導學生去思索對數律的概念。

對數表在108新課綱中，因計算機融入課程的設計，學習目標不列入查表_註2 的練習。學生可以使用計算機快速求得數值，計算機不啻是一本厚厚的函數表，對他們來說是一大福音。

幾個世紀前對數表的出現，其實已減輕不少計算工作，但當時航海家若有計算機，也不需繁瑣的查表程序，當今學子也如此。唐‧韓愈曾有「學海無涯苦作舟」的詩句，或許除了苦作舟，計算工具的運用在當今也更顯得重要。

註2 《數學領域課程手冊》定稿版 第589頁 [對數律]基本說明 1. 與99課綱的差異

CASIO將參與臺灣教育科技展

第一屆的臺灣科技教育展(EdTech Taiwan)，於107年首次登場，由台北市電腦公會(TCA)主辦，該公會每年舉辦「資訊月」、「春季電腦展」、「Computex」和「智慧城市展」等資訊相關推廣活動。

今年展期為12/4(三)至12/8(六)，可於每日10:00~18:00，至台北世貿一館免費參觀。規劃多年的「108新課綱」於8/1上路，新課綱強調「素養導向」及「資訊科技」領域，剛好與本次的展覽呼應。

第二屆臺灣教育科技展，匯聚了70多家國內外EdTech企業。於五天的展期中，配合新課綱為主題，以體驗展示、主題論壇、工作坊、教案沙龍等形式舉辦相關活動，提供相關科技教學工具、使用案例、教學方法，幫助教育工作者輕鬆備課，打造提供上百種教學產品及服務的平台。

臺灣卡西歐除了計算機、手錶、投影機或樂器等產品之提供，我們也積極參與各種活動，期望能提供更多的服務與創造更多的價值。今年卡西歐的攤位號碼是DP829，位於教案沙龍旁(展場平面圖)。能躬逢其盛參與今年臺灣科技教育展，是我們的榮幸。

以下相關連結，供各位讀者參考：
● EdTech Taiwan官網
● 2019展覽相關資訊
● CASIO今年展出產品主題

演講訊息：12/7(六) 下午1:10至2:00 未來教室演講主題「計算機配合模擬軟體融入教學」

_優惠資訊_

☆ 超優惠「新課網專案價格」
如果學校或學生有實際計算機購買需求， 歡迎到以下網址填表申請團購

學校、學生團購優惠 專案網

https://www.casio.com.tw/fx82sp

☆ 模擬器免費提供學校

模擬器 申請表單

http://casio.tw/ca-fx82

台灣卡西歐股份有限公司　計算機商品部 學販課
地址：11575台北市南港區忠孝東路六段21號7樓
電話：(02)2653-2588轉139
電子郵件： CasioEdu@casio.com.tw