電子報007期_計算機應用活動題目選、學生作答分析

CASIO 計算機電子報第007期

教學評量例題選

■ CASIO 計算機校園應用活動題目選學生作答分析(指對數、三角比單元)

計算機如何融入教學評量中？或許這困擾師生們已久，那不如直接來做做題目吧！由本期校園計算機應用活動之選題，來看學生們的作答及表現，或許能讓我們思考計算機在數學課程的下一步。

※ 感謝翰林出版提供題目。
※ 本期(110學年)完整計算機應用活動題目及相關作答統計，將於活動年報中全數公開。

∫ 北中南學生跨區答題的新里程

110 學年計算機校園應用活動已進入尾聲，目前在北中南各地累計已在 5 所學校 8 個班級辦理，合計有 278 位同學參加，這無疑是師生與我們創下的新里程碑。除了能帶給同學使用計算機算題目之臨場體驗感及實質回饋外，在解題與作答結果當中，我們也發現新課綱計算機融入教學評量中，學生們的學習表現差異。

感謝翰林出版提供，5 所學校學生試作的題目皆為同一份，本期電子報我們選出較具代表性及作答成果出現較明顯差異的題目(見下方pdf按鈕或連結)，有單選2、4以及填充1、3。更進一步，台灣卡西歐將這 4 道題的題目、參考解法、計算機操作編寫成網頁格式之介面，希望讀者及全國師生一同參與、一同演練。在解題及計算的過程中，能了解使用計算機帶來的價值。

最後，我們對學生在這 4 道題的作答表現做出了統計圖表&分析，提供給教師們參考。例如以正弦定理計算三角形外接圓半徑之題型，其低答對率也讓學販團隊意外。我們將學生依使用熟悉度分成了甲、乙兩組，可看出其中之差別。雖然僅是一份試題的選題統計，但期待這些資訊會對教師或讀者有所幫助。

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∫∫ 應用活動例題選

※解法或按法供參考，可能會有不同或更好的方法

單選 2

指數成長率問題

在 2018 年時，中國大陸的人均年所得約為 6000 美元，而美國的人均年所得為 60000美元；在 TED 的一場演講中，有專家預測 2048 年中國大陸的人均年所得也會達到60000 美元，若要達成這個預測，則中國大陸從 2018 年到 2048 年，人均年所得每年的平均成長率最可能是下列哪個選項？：
(A) 3 ％ (B) 5 ％ (C) 8 ％ (D) 11 ％ (E) 14 ％。

►學生作答統計
►參考解答及按法

設2018年到2048年每年的平均成長率為

r

\Rightarrow 6000 \times {(1 + r)}^{30} = 60000

\Rightarrow {(1 + r)}^{30} = 10

\Rightarrow 1 + r = 10^{1 / 30}

∴ r = 10^{1 / 30} - 1

使用計算機操作如下：

10 zy 30 =

-1 =

故選(C)

單選 4

三角比運用正弦定理的測量問題

在與水平面成 10° 的東西向山坡上，鉛直（即與水平面垂直）立起一根旗竿。當陽光從正西方以俯角 60 ° 平行投射在山坡上時，旗竿的影子長為 11 公尺，如圖所示（其中箭頭表示陽光投射的方向，而粗黑線段表示旗竿的影子）。試問旗竿的長度最接近以下哪一選項？

(A) 19.1 公尺 (B) 19.8 公尺 (C) 20.7 公尺 (D) 21.1 公尺 (E) 21.7 公尺。

►學生作答統計
►參考解答及按法

由

∠ A C B = 90 ° - 10 ° = 80 °

且

∠ C A B = 90 ° - 60 ° = 30 °

故知

∠ A B C = 180 ° - ∠ A C B - ∠ C A B

即得

∠ A B C = 180 ° - 80 ° - 30 ° = 70 °

在

△ A B C

中，由正弦定理知：

\frac{B C}{\sin ∠ C A B} = \frac{A C}{\sin ∠ A B C}

\Rightarrow

\frac{11}{\sin 30 °} = \frac{A C}{\sin 70 °}

\Rightarrow A C =

\frac{11 \times \sin 70 °}{\sin 30 °}

\frac{11 \times \sin 70 °}{1 / 2}

= 22 \sin 70 °

(在DEG角度模式)使用計算機操作如下：

22 * 70 s =

在選項中取最接近的答案為 20.7, 故選(C)

填充 1

三角比正弦定理的運用

△ $A B C$ 中，若∠ $A$ ＝50°，∠ $B$ ＝35°，且 $\bar{B C}$ ＝10，試利用計算機算求出下列各值，並四捨五入至小數點後第一位：
(1) $\bar{A C}$ =________。
(2) △ $A B C$ 之外接圓半徑為_________。

►學生作答統計
►參考解答及按法

由正弦定理及下圖知

\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = 2 R

\Rightarrow \frac{10}{\sin 50 °} = \frac{A C}{\sin 35 °} = 2 R

(1) 故知

A C = \frac{10 \sin 35 °}{\sin 50 °}

(2) 求外接圓半徑

R = \frac{5}{\sin 50 °}

(1) 在DEG角度模式下，使用計算機操作，求線段AC長：

10 * 35 s / 50 s =

數值 ≈ 7.48750861 取四捨五入至小數點後第一位，故(1)的答案為 7.5

(2) 同樣在DEG模式，計算外接圓半徑：

5 / 50 s =

數值 ≈ 6.527036447 取四捨五入至小數點後第一位，故(2)的答案為 6.5

填充 3

指數成長率問題

核電廠發生輻射外洩所感染的人數，經過科學家試算得到一個模式： $N \approx 200 \times (1 + 2^{x / 3})$ 其中 $N$ 是感染的人數， $x$ 是災害發生後經過的時間（小時）。例如災害發生後 3 小時感染的人數大約是 $200 \times (1 + 2^{1})$ 。200 × 3 ＝ 600（人）則：
(1) 災害發生後一天（24 小時），受感染的人數大約有_________人。
(2) 若人員來不及疏散的情況之下，災害發生後最少_________個小時（取整數），受感染的人數會超過 200000 人。

►學生作答統計
►參考解答及按法

(1)

N \approx 200 \times (1 + 2^{(1 / 3) \times 24})

200 \times (1 + 2^{8}) = 200 \times 257 = 51400

(人)
(2) 設最少

n

小時，則列出不等式：

200 \times (1 + 2^{n / 3}) > 200000

\Rightarrow 200 \times (1 + 2^{n / 3}) > 200 \times 1000

\Rightarrow 1 + 2^{n / 3} > 1000 \Rightarrow 2^{n / 3} > 999

可利用計算機(或估算)得

2^{\frac{29}{3}} \approx 812.7

，

2^{\frac{30}{3}} = 1024

故符合題目之

n

取至整數為30。

若改以對數不等式來解，對指數不等式

2^{n / 3} > 999

取對數：
得

\log 2^{\frac{n}{3}} > \log 999

\Rightarrow \frac{n}{3} > \frac{\log 999}{\log 2}

故知

\Rightarrow n > 3 \times \frac{\log 999}{\log 2}

此時，再使用計算機：

3 * 999l / 2l =

滿足不等式之 n ≈ 29.8930226 取至整數位，故答案為 30。

∫∫∫ 作答統計 & 分析

本期活動278位同學參加，我們將原始資料去識別化，盡可能消弭區域、校際、班級間之比較，僅就使用計算機熟悉程度作分組。第 Ι 組(250人)為 計劃或正導入計算機融入數學教學之學校／班級；第 ΙΙ 組(28人)則是 已在數學期中考開放過使用計算機之學校／班級。當然，應用活動的答題狀況表現，主要還是取決於學生本身的數學能力作為核心因素，但因為題目設計皆有類似真實世界的複雜數值，計算機工具的使用能力在作答中也不容忽視。

各類因子可能影響著學生解題程度以作答表現，而本期活動 278 位同學的作答雖已構成統計上一定之合理數量，但就樣本數尚不足以列為地區或全國之代表，無法構成學術上嚴謹的分析論述。然而，在未來計算機應用活動的年報中，我們會盡可能將各題作答狀況之分析及學生意見匯整成檔案並公開之。期待有更多學校參加活動，也歡迎師生提供任何意見，讓下期(111學年)的活動更加精彩、更臻圓滿。

單選2 學生作答統計

全體 ─ 作答率：98.6% (274/278)，答對率：46.8% (242/278)
第Ι組 ─ 作答率：98.4% (246/250)，答對率：41.6% (104/250)
第ΙΙ組 ─ 作答率：100% (28/28)，答對率：92.9% (26/28)

在第Ι組的同學，上圖顯示選(A)3%選項的同學有不少，在檢閱他們的作答卷書寫情況後，發現部分學生的列式是正確的，甚至轉成對數方程式。推測應是對計算機鍵序操作不熟悉所發生之狀況。例如在求10的30分之1次方時，可能會按成 10 ^ 1/30 =之錯誤情形。

回題目↑

單選4 學生作答統計

全體 ─ 作答率：97.8% (272/278)，答對率：32.4% (90/278)
第Ι組 ─ 作答率：98.0% (246/250)，答對率：28.4% (71/250)
第ΙΙ組 ─ 作答率96.4% (27/28)，答對率：67.9% (19/28)

第Ι組答對率僅28%，看到選擇(A)、(B)的錯誤答案者不少，錯誤的可能。大致可分三類狀況。狀況一：在解題一開始將圖中標示符號的第1步，就出錯了，有角度寫錯或影長位置的標示錯誤，導致後續步驟算錯。 第二種：是懂得利用三角形的邊角關係或三角比，但沒有寫出正弦公式，當試圖作出的愈多輔助線(例如，有同學想畫成平行四邊形)，反而妨礙了作答。

在此，也看到學習三角比或幾何單元時，學生 有誤套用三角形常用邊長比在實際三角形的不良用法。例如當看出30°─60°─90°的三角形，習慣直接將對應邊長標成：1、根號3和2，而不給出一組r、(根號3)r和2r的正確表達。 狀況三，是有列出正弦定理，無論使用分式型或連比例式型公式，但可能是計算機使用出錯，或者極少部份因小數點誤差的進位問題導致沒給出正確答案。

回題目↑

填充1 學生作答統計

第(1)題

全體 ─ 作答率：74.5% (207/278)，答對率：45.0% (125/278)
第Ι組 ─ 作答率：72.8% (182/250)，答對率：40.8% (102/250)
第ΙΙ組 ─ 作答率：89.3% (25/28)，答對率：82.1% (23/28)

第(2)題

全體 ─ 作答率：59.7% (166/278)，答對率：19.4% (54/278)
第Ι組 ─ 作答率：56.8% (142/250)，答對率：17.6% (44/250)
第ΙΙ組 ─ 作答率：85.7% (24/28)，答對率：35.7% (10/28)

同是三角比正弦定理之類似題，由填充3的(1)題之全體答對率有4成5，與單選4的全體答對之32.4%相比較，純粹求邊長題目之答對率較高，而反之，在解單選4時，學生可能在題目判讀、解構再到繪製輔助線或的方法會碰到困難。 推測在情境敘述轉化成數學式中不確感或信心程度，會影響部份作答表現，這在同組的跨題比較也是如此(第ΙΙ組本題答對率82%，而單選4答對率68%)。

第Ι組發生答錯之情形，多數如選擇4分析，但因本題作圖簡單，學生可立即聯想到應用正弦定理。一些特殊案例，看到有學生設另2邊為變數， 以兩組餘弦公式去解反而出錯之狀況 ，或是作輔助線， 想以正切觀點切入解題但不小心出錯的，這些是較令人感到比可惜的。

其實很令人意外，因為從正弦定理與外接圓的相關性，兩個小題答對率的差異竟如此之大。第一種錯誤，是清楚正弦定理的連比例式或分式型，但不知道直徑與(對邊長度/角正弦值)的相等關係，尤其是寫成連比例式者。 另一類錯誤，是分式型定理中，對於直徑、半徑或分子、分母，因位置或對象不清楚，或者是處理小數點進位時發生錯誤所致。

正確答案是半徑 = 6.5，全體學生中，給出13.1的有10位、13的有2位，而答3.7的有7位，3.6、3.8的各1人，而寫6.6、6.7、6.8、...、7也各有1、2位。填充題數值之處理的確對學生來說是一項考驗，曾聽聞學校老師所給出的意見， 可將此類誤差易發生的問題，設計成問答案所在的整數區間，或改問最接近之整數，這會是減少學生方向對但答錯的狀況。

回題目↑

填充3 學生作答統計

第(1)題

全體 ─ 作答率：97.8% (272/278)，答對率：88.1% (245/278)
第Ι組 ─ 作答率：98.0% (245/250)，答對率：87.2% (218/250)
第ΙΙ組 ─ 作答率：96.4% (27/28)，答對率：96.4% (27/28)

第(2)題

全體 ─ 作答率：94.2% (262/278)，答對率：57.2% (159/278)
第Ι組 ─ 作答率：94.0% (235/250)，答對率：54.0% (135/250)
第ΙΙ組 ─ 作答率：96.4% (27/28)，答對率：85.7% (24/28)

無論是作答率與答對率，整體學生的在本小題之表現讓人欣悅。指數的概念、模型在教科書第一、三冊出現，即使敘述稍多對學生應不陌生。因本題的數字設計上，本題可化為單純的整數次方運算，並不複雜。以手算即可完成，或許他們能使用計算機驗算，也是高答對率的因素。

第(2)題仍然有高作答率，全體有5成的答對率。測試學生關於對數不等式的概念是否清楚，但本題以2為底的數字及1000倍的問題其實不是過份難。第Ι 組整體答題率無法再提高之原因，是否對於計算機的不熟悉，會使解題、探究或驗算之效果下降，甚至可能降低了的作答信心及表現？但這僅是卡西歐學販團隊成員由學生片斷的答題資訊中推估的可能。

回題目↑

以上，盡可能帶給教師或讀者關於110學年校園計算機應用活動中4道題目選的學生表現統計，期待學生不只是一次解題活動的體驗，更能正向影響他們未來的數學學習。在此感謝 278 位同學的參加，每個人的表現積累，轉化成有用的整體資訊，提供了教育工作者新的方向。也感謝台中二中、政大附中、路竹高中、永豐高中及4月才參加的興大附中(依舉辦順序排)，感謝各校之行政單位及班級任課教師之同意及協助。台灣卡西歐團隊將更努力推動，多做多得，期待下期活動能讓這座島上的學生有更多更好的學習體驗。

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