CASIO 計算機電子報 第007期
計算機實作課程 教學錦囊
研究專員 李天瑋(David)撰
出刊日期： 2022-06-06
更新：2022-06-10 12:00
接續本期電子報第一篇，為縮小傳授數學知識與計算機等工具應用的差距，規劃在三角比教學中，撰寫了「正弦定理」與「餘弦定理」兩篇課程設計實作建議，期待能為師生們帶來助益。
與正弦定理同樣是關注邊角關係，而餘弦定理與畢氏定理間有著特殊關聯：「畢氏定理是餘弦定理的特例，而餘弦定理是畢氏定理的推廣」。本文以此為核心，再輔以新課綱以廣義角定義之概念，與工具的使用，增進學生在本單元的學習強度。
※ 本文以課綱素養導向之精神出發，並參考國教院《數學課程手冊》及各版本教科書撰寫。
※ 歡迎各級 學校及校內教師引用、重製、散布、傳輸及修改本文之任何圖文內容。
※ 本文提供之範例或建議， 可進一步設計成正式的「教學單元案例」、「課程學習單」或納入學生個人之「學習歷程檔案」撰寫。若各校 教師能提供教學案例或者給予本文指正，非常感謝，也歡迎有進一步的合作計劃。
△ 餘弦定理的探究、驗證 課程規劃
課程單元：高一(10年級) 三角比性質(課綱代碼：G-10-7)中的餘弦定理
課程目的：在工具測量和數值計算的步驟操作中，讓學生探索或驗證以熟悉數學定理之內容。
設計概念：以工具手繪、測量三角形、配合數學算式書寫，再用計算機算出數值以推論或檢驗定理。
課程概述：由學生分組或個人繪製一組特殊三角形，並以其特殊的邊長、角度計算和測量出餘弦值。再利用兩組畢氏定理的平方關係，進而推廣至餘弦定理，以利新課程探究或作課程複習、驗證。
預估時數：規劃教師說明引導5分鐘，學生操作及列式5~10分鐘，教師再總結定理5分鐘。若正課時間不足，建議以作業、學習單或納入學生學習歷程之方式進行。
使用工具：筆、方格紙、三角板或直尺、圓規及計算機(fx-82SOLARII)。
在高中數學課程中，餘弦定理係由學生國中習得的畢氏定理或距離公式來推導，是經年累月的教學原則。筆者念高中時所用的是八十四年部頒高中數學課程標準所編之教科書，當時就是在直角坐標上以距離公式來證出(如下圖)。至今，108數學課綱的《數學手冊》的教學斟酌提到：「正弦與餘弦定理並不需要坐標，建議以基本的幾何方法導出。但是，可以搭配坐標而應用之」。筆者推測其目的是不希望學生將可適用平面幾何的正弦、餘弦定理，限制在直角坐標系的框架之中。
而查現今教科書常用版本中，仍有使用直角坐標上之點距離來證明定理的。本文關於課程設計概念，是利用坐標幾何上嚴謹的點坐標，還有廣義角概念，利用兩組直角三角形的畢氏定理，導出或是複習餘弦定理。本課程分為三大任務，第一是繪製圖形，對點坐標及的計算與測量。第二是利用畢氏定理概念，將「兩組直角三角形邊長的平方關係」，來重新對此三角形進行解構，並說明餘弦角在此的表達。而最後一步，是推廣出一般的餘弦定理公式寫法。如題，本篇內容可列在探究課程，即正弦定理單元教學完成之後，或者放在依各版本教科書餘弦定理推導後做為驗證課程、作業或學習單等，教師可自行斟酌。
關於工具使用原則，已大致在前篇說明，在此不再重複述說，僅說明本課程的幾項要點。圓規的使用在於畫出單位長的倍數長度，但因為有方格紙，此部份可以省略。而三角板或直尺在本篇中的使用，主要是繪製線段。量角器、直尺的測量功能在本篇不多。本文以方格紙配合坐標幾何之寫法，目的是為嚴謹化數學步驟，若繪製在任意紙張上，需調整課程設計。計算機操作中，會使用到「根號鍵」及「cos鍵」功能，按法上需稍加留意，而使用上僅關注在三角形特殊的長度和角度數值。工具僅是輔助，本課程的核心仍是畢氏定理與餘弦定理間關係的論證。
任務一：三角形的繪製 點坐標的測量、計算
任務一有兩個目標，目標一是在畫出一特殊三角形，其位置及邊長皆是為餘弦定理課程精心設計的：A在原點，一邊有 6 單位長在水平線上、最大的邊是線段BC有 8 單位長，而C點在x＝−1的直線上。
目標二，讓學生推論或計算出△ABC的最小邊長為4單位長，再來是推導出C點坐標的理論值，並在其間穿插工具測量以驗證數學推理。
▲圖 1 任務一：繪製及測量三角形的邊長及角度數據繪製及測量 之 引導步驟示例
- 如圖1，在方格紙上(每格為0.5cm規格的) 畫出直角坐標系，以2格長定為1單位長( 1 cm)，將原點的格子點(0,0)記為點A，在格子點(6,0)位置記為點B，理想上，AB線段為 6 單位長( 6 cm)。
- 在方格紙上，取特定格子點後，在平面上畫出x＝−1的直線L。
- 畫出三角形的第二個邊長，長度須為8單位長，建議以圓規在水平線上的x軸先量出一定長度(16格)，再轉至位置，交至直線L得到C點，故其BC線段理論的邊長為8(cm) 。
- 連接A、C兩端，即畫出此一特殊三角形。
上述繪製三角形的步驟，跟第1篇正弦定理課程設計相較，在此變得嚴謹些。因為我們繪圖和計算的空間，已明定在直角坐標系上了。有趣的是，在撰寫本課程設計時，無心插柳柳成蔭，看到三邊長的數值：4、6、8，恰好為等差數列，是筆者一開始也沒想到的。課程教學執行上，無需一開始就告訴學生此特點，留給學生思考空間，看是否留作小組或課堂、課後討論，或者待課程結束後，再提示之：「一開始我們畫出的三邊之間有什麼關係？」。相信，會有不少學習反饋。
任務一的第二個目標，就是要探究AC邊的長度，還有C點坐標。
▲圖 2 任務一：繪製及測量三角形的邊長及角度數據測量邊長及坐標 之 引導步驟示例
- 以直尺或三角板量測線段AC長度，學生給出的數據應當在4左右。
- 以量測工具測得C點位置(−1,h)，h為無理數，但實務的測量結果應當在 3.9 上下。
- 引導學生利用畢氏理算出C點的理論坐標，以及AC線段長度＝4。
- 使用計算機按出「根號15」的數值：「15 zr 」並與第2點直尺的測量數值差異作比較。
在上述第2點，若是以分組進行，可用各成員測量之數值得出小組平均，再以各組平均得出全班平均對此數值的「估計」，看其是否跟「根號15」數值接近。雖然現階段統計課程不在高一實施，這裡運用到一些數據測量和統計大數法則的想法，是分組活動利用成員合作效果之有趣的部分。
任務二：特殊數值下 以「畢氏定理」解構「餘弦定理」
畢氏定理，是直角三角形上特殊的邊長關係：斜邊平方為二股平方之和，有著特殊的幾何結構。而任務二，是利用兩組畢氏定理，來推導出餘弦定理立。
▲圖 3 任務二：列式得出餘弦的特殊表達，並以反三角鍵計算角度計算 之 引導步驟示例
- 由任務一之AC線段長，及廣義角意義，讓學生說明出理論的cosA＝−1/4。
- 令C點在x軸上的垂點為點D，將兩個直角△BCD及△ACD中，兩組的邊長平方關係式列出。
- 將第2點的二式並列。對△BCD，此時由教師引導72 ＝ (6+1)2，並展開書寫成如圖2的算式。接著 12 +h2＝ 42，要讓−1/4的餘弦值變成原△ABC邊長表示。最重要的，再以cosA替換(−1/4)，餘弦定理公式的一個特殊版出現。
- 量測角A數值，當在104.5度左右。
- 對cosA＝−1/4，用計算機反三角鍵按出角A的理論度數值：「1~/4 =zK」。 之數值。
在上述第2、3點中，是本任務的重要步驟。或許學生並會不明白此做法之目的，甚至覺得表達成橫式、分式之寫法為多此一舉，要待任務三時才能解惑。而測量之目的與計算機之使用在於將這層幾何結構或數值更具體化，讓學習連結操作經驗。
計算機的使用上，可配合度分秒按鍵'之操作。若可以，試比較「1f4~ zK」按法上之差異，或者，討論「1/4~ =zK」其不合理之原因(廣義角定義上，半徑必為正，上述按法結果正確，但鍵序過程是有瑕疵的)。
在任務二已點到餘弦定理的公式，接著，任務三是要令b、c邊長不變，讓角A改變，使第三邊a之邊長跟著 cosA＝−x/4的關係列成公式，再一般化推廣至完整的餘弦定理。
任務三：推廣出餘弦定理、總結
任務三的一樣是基於畢氏定理以兩組直角△的邊長平方關係，找出餘弦公式的特殊寫法，但其對邊之邊長，已改寫成一個變數符號。
▲圖 4 任務三：推廣出餘弦定理、總結推論 之 引導步驟示例
- 在原圖上，令AC線段以原點旋轉(建議)得到C'點，或再重新做一個平面坐標系及三角形。
- 令C'點(x,h1)，與任務二相同方式，在x軸上的垂點為點D，將兩個直角△BC'D'及△AC'D'中，兩組的邊長平方關係式列出。讓學生留意x為負值，另外，△BC'D'之斜邊BC'改以變數a1表示。
- 將上述第2點的二式相減。此時可由教師引導d2 = (6+x)2，並書寫成如圖3的算式。要讓x/4的餘弦值變成原△ABC邊長的關係寫法，最重要的，此時cosA的餘弦定理公式的另個特殊版本又出現了。
- 討論以原△ABC之角A及b、c邊長表示公式寫之寫法，再推廣得出一般的餘弦理定理公式。
本篇的課程設計想法，試圖以一個較嚴謹的工具操作及數學計算、推論步驟，讓學生畫出三角形，再去探就餘弦角與邊長關係，進而導出公式。其實，這與各教科書、教材或講義所述類似。但本文設定以兩組直角三角形邊長的平方關係的觀點，來解說餘弦定理，可能是以往學生學習上較沒有關注的重點，藉由實作課程帶著學生多寫幾次，以熟悉餘弦定理與畢氏定理密不可分的結構。
撰寫本文時的五月正好為梅雨季，而設計本課程時，無意間用到了邊長為2:3:4恰成等差數列的三角形，而其鈍角約為104.48度。驀然想起以前學習化學時的水分子結構，因為氫鍵作用使得「H-O-H」的夾角也接近這個數值。筆者非化學家，對於分子化學或量子軌域沒有什麼研究，無法說明其中原理。數學的內涵真是無處不在，這種特殊三角形的幾何結構與其他領域的關聯，再留給讀者們發現與推尋。