CASIO 計算機電子報 第007期
計算機實作課程 教學錦囊
出刊日期 2022-06-06
研究專員 李天瑋(David)撰
現今，108新課綱已納入計算機，作為數學課程教學之建議工具，然而，由卡西歐所舉辦之計算機應用活動發現，在數學知識傳授及計算機應用的之間，存在一定的差距。故本期電子報以三角比教學的「正弦定理」與「餘弦定理」編寫了兩篇範例文，期待能給師生們帶來助益。
※ 本文以課綱素養導向之精神出發，並參考國教院《數學課程手冊》及各版本教科書撰寫。
※ 歡迎各級 學校及校內教師引用、重製、散布、傳輸及修改本文之任何圖文內容。
※ 本文提供之範例或建議， 可進一步設計成正式的「教學單元案例」、「課程學習單」或納入學生個人之「學習歷程檔案」撰寫。若各校 教師能提供教學案例或者給予本文指正，非常感謝，也歡迎有進一步的合作計劃。
△ 正弦定理的探究、驗證 課程規劃
課程單元：高一下學期 三角比性質(課綱代碼：G-10-7)的正弦定理
課程目的：在工具測量和數值計算的步驟操作中，讓學生探索或驗證以熟悉數學定理之內容。
設計概念：以工具手繪、測量三角形、配合數學算式書寫，再用計算機算出數值以推論或檢驗定理。
課程概述：由學生分組或個人繪製一組三角形，並對其邊長、角度測量和按計算機得出正弦值。再利用三組「邊長/正弦值」比值，來引入或驗證至正弦定理，以利新課程探究或作課程單元之複習、驗證。
預估時數：規劃教師說明引導5分鐘，學生操作及計算10~15分鐘，教師總結5分鐘。若正課時間不足，建議以作業、學習單或納入學生學習歷程之方式進行。
使用工具：筆、方格紙、三角板或直尺、圓規及計算機(fx-82SOLARII)。
正弦定理在行之有年的高中數學課程中，一般由sin面積公式推導出，或是以圓內接任意三角形及特定直角三角形的圓周角性質來闡述定理。在此，我們直接以三角形本身的結構與數值出發，做法其實相對簡單易懂，分為三大任務：第一是繪製及測量、第二是 邊長/正弦數值 比值的計算，而最後一步是畫出外接圓並測量半徑。如標題，本篇內容可列在探究課程，即廣義角單元之後，或者放在正弦定理推導後做為驗證課程、作業或學習單等，教師可自行斟酌。
實作課程之設計，目的在於讓每位學生動手操做。若沒有方格紙，建議改有方格或橫線的筆記本，而一般計算紙或再生紙也可。但課程手冊有提到：「在高中，學習重點是坐標幾何，不必過度練習平面幾何」，這也是為何建議使用方格紙之原因。教師們亦可自行發揮，改作本課程設，如圖5，採用直角坐標上之三個自選點出發，連成三角形，測量角度及邊長(或以距離公算出)，再到檢視定理的一步。而本文以平面幾何之寫法，目的在於簡化說明以讓讀者快速掌握。
理想上，高一(10年級)對於8年級課程的圓規和小學的量角器應能輕鬆上手。唯計算機操作，可能要請 教師先解說或示範教科書、說明書內所編寫之建議按法，以免學生因工具操作錯誤沒有達到預期之教學效果。
任務一：三角形的繪製、測量
任務一之目的，是要得出兩組數據，一組為三邊之邊長、另一組為三個角的大小，但是，在任務二的計算可看到些微的數值差異，會導致計算結果更多的誤差，本任務目標之一是盡可能消弭這個誤差。
繪製及測量 之 引導步驟示例
- 在方格紙上(每格為0.5cm) 畫出底一邊長，如圖1，作出底邊BC線段的邊長為 7 cm (14格)。
- 畫出另一三角形的邊長，建議如圖以圓規先量出一定長度(18格)，再轉至一定位置，故其理論的邊長為 9 cm 。
- 連接兩端，拿直尺或三角板等工具測量AC線段長，因所使用直尺的最小刻度為 0.1 公分(1mm)，準確值 4.1 。而可以有下一位的估計值，取0.08，故示範所得到數據為 4.18 (cm)
上述繪製三角形的步驟當然沒有一定，目的是要學生自己動手畫，並在測量後，對三角形簡單的幾何結構與邊長數值大小間的關聯有所體會。須留意的是：過份複雜的數值，可能會讓大多數學生在下個任務二時的計算產生困擾，故建議取兩個邊長為整數，以直尺、三角板對夾角的對邊做第三邊的數值測量。接著，進行角的度量。
▲圖 1 任務一：繪製及測量三角形的邊長及角度數據測量角度 之 引導步驟示例
- 以量角器量測各個角，小數點下第1位為估計值，如圖1，測得∠A = 49.0°、∠B = 28.1°
- 第三個角之數值，以三角形內角和 = 180°的性質算出，故得∠C = 102.9°
任務二：計算「邊長 / 正弦值」之比值
「三角形中，大角對大邊，大邊對大角；等邊對等角，等角對等邊」，這是8年級課程已建立的概念，教師可適時提示之，測量完角度及邊長後，接著我們進行任務二，計算各角的邊長/正弦值之比值。在這任務中，會使用計算機。
▲圖 2 任務二：計算 邊長 / 正弦值 之比值計算 之 引導步驟示例
- 求三個 邊長 / 對應角正弦的比值是實作的目標。
- 如圖 2，書寫算式：a/sinA 、 b/sinB 、 c/sinC。
- 計算a/sinA ，計算機鍵序：「7 / 49 s =」，得出9.27509...的數值，這裡四捨五入取至小數點後第二位，記為 9.28 。
-
同理，鍵序：「4.28 / 28.1 s =」及
「9 /102.9 s =」分別計算出 b/sinB 、 c/sinC之數值。
在上述第2點中，承接第1點，要讓學生明白操作方向是要探究邊和角的關係。然分母並不是角度的數值，而是轉為正弦值表達(說明代入角度亦可，但函數概念正式建立是放在高二引入弳的觀念後)的「數值」，sinA、sinB等，在此範例中皆是一個數。
在第3點計算計機求比值中，sin49°的數值可再寫成中間算式，如下所示：
雖然近似值的問題或有效位數之取捨，在計算實務上會碰到，但《數學課程手冊》中提到：「數學的『有效位數』僅用來約定概數的精確度，並不像自然科學領域還需用來溝通測量的精確度」，又說明：「將『有效位數』作為教學評量的溝通語言即可」。本文雖有測量與位數取捨的問題，但真值、估計值與測量值的這些考量，非數學課程之重點，也沒有必要列為數學教學之評量。故在這堂實作課程中，可拋開測量有效位數之議題，有計算機協助能快速觀察比值，這已達到教學目標。
在上圖的三條算式列法中，分子、分母數值的倍數關係輪廓(例如：7/0.755、4.28/0.471)已愈益清晰，這裡已漸漸展現出正弦定理的內涵了。雖然現實得到的數值沒有純數世界中的完美，而示例這裡的9.09與9.28相差，其實只在百分之二左右而已，是個可接受的結果。
補充說明，若在教學現場將學生分組，成員間也可對照彼此結果，但沒有一定的標準。這裡給出另種課程設計方案，即不做任務三，一開始約定小組成員選定並畫出同一半徑的圓(如圖4的課程設計想法)，再做各類內接三角形，某些成員做銳角、某些做直角還有鈍角。這樣的課程分組設計可發揮分工(不需一人做三類三角形)及競合(互相指導並彼此對照2R測量的結果)的效用。
在任務二得出的結果其實就已點到正弦定理的核心了，而任務三，是要引入三角形外接圓，並進一步推廣至各類三角形，以複習或銜接課程。
任務三：找出外心、測量外接圓半徑、繪製外接圓、總結
任務三之目的是找出學生自己所繪三角形之外接圓圓心，並測量外接圓半徑，以下，簡單說明本文範例的步驟及要點。
▲圖 3 任務三：找出外接圓圓心、測量半徑和繪製外接圓繪圖、測量 之 引導步驟示例
- 選定兩邊做中垂線(複習8年級尺規作圖)，建議以任務一當初的理論為整數邊長為對象，可以看到圖3某一中垂線及重合方格紙的直線(黃色箭頭即中點D)。
- 兩中垂線交點為圓心(圖中上方藍色箭頭處)，並測量圓之半徑長度為 4.55 。圖中為方便讓讀者觀看，未讓三角板與線段對齊。接著，再按計算機乘以2，得出 9.1，可以和任務二的數值作比較，此數值是對真實「直徑」的測量。
- 再以半徑畫外接圓，說明了三角形內接於此圓，加深學習強度。
任務三做到此，即完成這堂實作課程了！本文雖然撰寫了許多文字，但其實概念非常簡單：學生自形繪圖三角形→測量→計算機按出三組比值→繪製外接圓→測量半徑，順利的話，預估多數學生可在10分鐘內做完。而學生對繪圖的要求度或計算機使用熟悉等情況不同，或者有個人習慣上的差異，會對課程執行時間產生一定程度影響，由 教師們因材因地因時作教學調整。
本文僅是筆者試著拋出關於「正弦定理」的實作探索或驗證課設計想法之文章，希望能給各高中的 教師們多少有些助益，而本篇設計上或課堂實務上定會有未周全之處，敬請 教師給予我們建議或指正，感謝您閱讀本系列文章。而下篇的餘弦定理，會以較嚴謹之數學教學方法來做課程設計，也歡迎您的閱讀。
更多的課程設計想法或變化
如下圖4，另種變化，可(讓小組成圓都)給定一圓參數(半徑為4)→做圓內接三角→測量、計算→驗證正弦定理。討論證明，這其實就是傳統課本上的證明，前半以數據化呈現方式，不要讓學生覺得數學很抽象。後僅即為黑字部份即證明。
▲圖 4 給定已知的圓半徑，對任意內接三角形做探究正弦定理的課程設計想法或者，如下圖5，這種坐標幾何的課程設計想法(0.5cm為1單位長)，比較會符合課綱或大考精神，常出現三角與向量或其他單元結合之變化題型。實作想法：先給定三格子點→計算平面距離→測量角度→計算邊長/角正弦比值→找圓心→作外接圓。有各種可能的課程設計，但無論何種變化，要學生留意三角形各邊和對角正弦的核心關係，就達到教學目標了。
▲圖 5 在直角坐標系，任意取3格子點，對邊長做計算，對角度測量，探究正弦定理的課程設計想法